Centro Cultural Banco do Brasil - Rio de Janeiro
Durante minhas lúdicas atividades matemáticas, fiquei imaginando, após alguns rabiscos curiosos sobre relações do círculo há muito consolidadas, o que haveria por detrás de c=2.pi.r, de a=pi.r^2 e assim por diante, até a esfera e seu volume.
Fuçando aqui e ali, descobri a fórmula
Ou seja, a fórmula geral que dá as fórmulas particulares dos elementos de cálculo ligados aos círculos é uma função em 'r', na dimensão 'd'.
Ela unifica as três fórmulas que têm o círculo e a circunferência como origem, que são a do comprimento da circunferência, a da área do círculo e a do volume da esfera.
Para calculá-la, escolhe-se uma dimensão e faz-se a multiplicação da constante 2 pelo fatorial do número de dimensões anteriores à desejada pelo 'pi' e pelo raio 'r' elevado à dimensão desejada; tudo isto dividido pela dimensão desejada.
Vejamos um exemplo: qual seria a fórmula para duas dimensões, tendo o círculo como base (isto é, qual a área do círculo)?
Confirmou a fórmula clássica.
Qual seria a fórmula para o cálculo de capacidade de uma esfera?
Reproduziu a fórmula do cálculo do volume da esfera.
Como eu cheguei à definição da fórmula geral, lá de cima?
Primeiro, era apenas diversão. Eu anotei as fórmulas consagradas há milhares de anos numa tabela. Ao lado delas, suas derivadas. Assim
Fiquei satisfeito ao notar que a segunda linha da coluna das derivadas reproduzia a fórmula consagrada do comprimento da circunferência. Me fez desconfiar que havia alguma coisa a mais nisto.
Por curiosidade e apenas continuando o jogo, resolvi dividir a primeira coluna pela segunda, linha a linha. Na primeira linha, encontrei 'r' (ou r/1); na segunda, 'r/2' e, finalmente, na terceira, 'r/3'. Criei mais uma coluna para registrar isto:
A primeira idéia que me veio foi a de que um objeto esferóide imaginário de quatro dimensões teria um sobrevolume, um trans-volume, dado por uma função que, dividida por sua derivada, reproduziria 'r/4' na coluna 'C' da tabela acima. Assim
Olhando as colunas, a das derivadas era a única que tinha uma evolução qualquer. A primeira coluna não me dizia nada.
Momentaneamente, achei que não tinha para onde ir e larguei o 'brinquedo' de lado. Mas fiquei com aquilo no subconsciente.
Um dia, revi a tabela. Ainda não me dizia nada, qual caminho seguir. Mas quis brincar um pouco mais e resolvi ver a relação que existia entre a derivada da linha 2 com a anterior.
2 . pi . r
----------- = r
2 . pi
O mesmo fiz com a terceira linha e com a segunda.
4 . pi . r ^ 2
-------------- = 2r
2 . pi . r
Aqui uma luz se acendeu. Fiz mais uma tabela, com uma coluna a mais:
Vislumbrei a possibilidade de a quarta dimensão produzisse uma derivada que, seguindo a 'tendência' da coluna 'D', fosse '3r'.
Caso fosse verdadeira a minha intuição, a derivada da quarta dimensão deveria ser
X ' = 4 . pi . r ^ 2 . 3r
ou
X ' = 12 . pi . r ^ 3
Assim, a tabela ficaria
Tendo a coluna 'C' também aparentemente a tendência de evolução regular, poderia ser 'r/4' e este valor 'me daria' a chave para descobrir a fórmula da coluna 'A', na quarta dimensão.
X = r/4 . 12 . pi . r ^ 3 = 3 . pi . r ^ 4
'Descobri' a fórmula da quarta dimensão fazendo a operação inversa à que foi feita nas linhas da coluna 'C'. A nova tabela fica
Até então, eu ficava preso a uma fórmula de uma dimensão qualquer para poder descobrir a fórmula seguinte, de acordo com as progressões mostradas nas colunas 'C' e 'D'.
Eu não tinha como dizer, por exemplo, qual seria a fórmula para o cálculo do tal trans-volume da sexta dimensão, sem, antes, calcular o da quinta.
Haveria uma fórmula universal que me desse o cálculo em qualquer dimensão desejada?
Fiz vários ensaios, tentando vislumbrar alguma regra óbvia na evolução dos coeficientes da primeira coluna. Não havia. Na coluna 'B' também não. A coluna 'C' não me interessou muito, pois, embora tivesse uma evolução clara, não mostrava progresso vertical, de uma fórmula a outra. Mostrava a relação de mesma linha.
A coluna 'D', entretanto, intuitivamente, pareceu-me ter uma direção interessante: ela me mostrava que as derivadas progrediam numa escala linear. E a constante numérica me parecia ser, a cada linha, a dimensão a que ela se referia, menos 1.
Resolvi dividir o coeficiente numérico de uma derivada qualquer pela constante numérica da coluna 'D' na linha a que ela se referia: encontrei o coeficiente numérico da derivada anterior à linha em que eu estava.
Por exemplo,
12 . pi . r ^ 3
--------------- = 4 . pi . r ^ 3
3
Era 'quase' a fórmula da derivada anterior. Resolvi, também por intuição e como sempre até aquele momento, acreditar que, parcialmente, poderia fazer o expoente de 'r' ser igual à dimensão da fórmula base em questão, menos 1.
Nasceu, assim, a primeira idéia para a fórmula geral. Como todas as derivadas contemplam a dupla de variáveis 'pi' e 'r', e que 'r' tem sempre expoente igual à dimensão atual - 1, pude imaginar
f ' (r) = ... . pi . r ^ (d - 1)
d
Como seria o coeficiente numérico? Perguntei-me se a evolução da coluna das derivadas era sempre par. Parecia ser. Então, algo teria a ver com o fator 2. Tentei
f ' (r) = 2 . ... . pi . r ^ (d - 1)
d
Foi uma boa idéia. Olhando os coeficientes das derivadas nas tabelas anteriores e reescrevendo cada uma delas, vi que os coeficientes numéricos deveriam ser
Uma intuição definitivo me 'disse' que o coeficiente móvel '6' seria o fatorial de '3', que era a dimensão anterior à que ele se referia. Se fosse verdade, o coeficiente móvel da segunda dimensão deveria obedecer à mesma regra. E era, pois
(d - 1 )! = (2 - 1)! = 1
E, por fim, a primeira dimensão também obedecia
(d - 1)! = (1 - 1)! = 0! = 1.
Assim,
f ' (r) = 2 . (d - 1)! . pi . r ^ (d - 1)
d
Qualquer derivada fica assim determinada, bastando-se indicar em qual dimensão (d) será levada a calcular.
Mas o meu objetivo final é achar uma fórmula de uma dimensão 'd' qualquer que seguisse a regra constituinte de todas as já consagradas.
Em meu socorro veio a coluna 'C'. Bastava multiplicar-se uma derivada qualquer pelo seu valor correspondente na coluna 'C' que poder-se-ia obter a fórmula da coluna 'A'.
Então
f (r) = [f ' ( r )] . r / d
d
Substituindo a representação da derivada acima por sua expressão, temos
Simplificando e terminando a história, temos a fórmula geral, conforme mostrada no início deste artigo:
Fuçando aqui e ali, descobri a fórmula
| 2 . ( d - 1 )! . pi . r ^ d | |
| f ( r ) = | ---------------------------- |
| d | d |
Ou seja, a fórmula geral que dá as fórmulas particulares dos elementos de cálculo ligados aos círculos é uma função em 'r', na dimensão 'd'.
Ela unifica as três fórmulas que têm o círculo e a circunferência como origem, que são a do comprimento da circunferência, a da área do círculo e a do volume da esfera.
Para calculá-la, escolhe-se uma dimensão e faz-se a multiplicação da constante 2 pelo fatorial do número de dimensões anteriores à desejada pelo 'pi' e pelo raio 'r' elevado à dimensão desejada; tudo isto dividido pela dimensão desejada.
Vejamos um exemplo: qual seria a fórmula para duas dimensões, tendo o círculo como base (isto é, qual a área do círculo)?
| 2 . (2 - 1)! . pi . r ^ 2 | 2 . pi . r ^ 2 | |||
| ------------------------- | = | -------------- | = | pi . r ^ 2 |
| 2 | 2 |
Confirmou a fórmula clássica.
Qual seria a fórmula para o cálculo de capacidade de uma esfera?
| 2 . (3 - 1)! . pi . r ^ 3 | 2 . 2 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 3 | ||
| --------------------- | = | ---------------- | = | --------------- |
| 3 | 3 | 3 |
Reproduziu a fórmula do cálculo do volume da esfera.
Como eu cheguei à definição da fórmula geral, lá de cima?
Primeiro, era apenas diversão. Eu anotei as fórmulas consagradas há milhares de anos numa tabela. Ao lado delas, suas derivadas. Assim
| f(r) | f '(r) |
| 2 . pi. r | 2 . pi |
| pi . r ^ 2 | 2 . pi . r |
| 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 |
Fiquei satisfeito ao notar que a segunda linha da coluna das derivadas reproduzia a fórmula consagrada do comprimento da circunferência. Me fez desconfiar que havia alguma coisa a mais nisto.
Por curiosidade e apenas continuando o jogo, resolvi dividir a primeira coluna pela segunda, linha a linha. Na primeira linha, encontrei 'r' (ou r/1); na segunda, 'r/2' e, finalmente, na terceira, 'r/3'. Criei mais uma coluna para registrar isto:
| A | B | C | |
| d | f (r) | f ' (r) | A/B |
| 1 | 2 . pi . r | 2 . pi | r |
| 2 | pi . r ^ 2 | 2 . pi . r | r / 2 |
| 3 | 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 | r / 3 |
A primeira idéia que me veio foi a de que um objeto esferóide imaginário de quatro dimensões teria um sobrevolume, um trans-volume, dado por uma função que, dividida por sua derivada, reproduziria 'r/4' na coluna 'C' da tabela acima. Assim
| A | B | C | |
| d | f (r) | f ' (r) | A/B |
| 1 | 2 . pi . r | 2 . pi | r / 1 |
| 2 | pi . r ^ 2 | 2 . pi . r | r / 2 |
| 3 | 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 | r / 3 |
| 4 | X | X' | r / 4 |
Olhando as colunas, a das derivadas era a única que tinha uma evolução qualquer. A primeira coluna não me dizia nada.
Momentaneamente, achei que não tinha para onde ir e larguei o 'brinquedo' de lado. Mas fiquei com aquilo no subconsciente.
Um dia, revi a tabela. Ainda não me dizia nada, qual caminho seguir. Mas quis brincar um pouco mais e resolvi ver a relação que existia entre a derivada da linha 2 com a anterior.
2 . pi . r
----------- = r
2 . pi
O mesmo fiz com a terceira linha e com a segunda.
4 . pi . r ^ 2
-------------- = 2r
2 . pi . r
Aqui uma luz se acendeu. Fiz mais uma tabela, com uma coluna a mais:
| A | B | C | D | |
| d | f (r) | f ' (r) | A/B | B[d+1]/B[d] |
| 1 | 2 . pi . r | 2 . pi | r / 1 | - |
| 2 | pi . r ^ 2 | 2 . pi . r | r / 2 | r |
| 3 | 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 | r / 3 | 2r |
| 4 | X | X' | r / 4 | ? |
Vislumbrei a possibilidade de a quarta dimensão produzisse uma derivada que, seguindo a 'tendência' da coluna 'D', fosse '3r'.
Caso fosse verdadeira a minha intuição, a derivada da quarta dimensão deveria ser
X ' = 4 . pi . r ^ 2 . 3r
ou
X ' = 12 . pi . r ^ 3
Assim, a tabela ficaria
| A | B | C | D | |
| d | f (r) | f ' (r) | A/B | B[d+1]/B[d] |
| 1 | 2 . pi . r | 2 . pi | r / 1 | - |
| 2 | pi . r ^ 2 | 2 . pi . r | r / 2 | r |
| 3 | 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 | r / 3 | 2r |
| 4 | X | 12 . pi . r ^ 3 | r / 4 ? | 3r ? |
Tendo a coluna 'C' também aparentemente a tendência de evolução regular, poderia ser 'r/4' e este valor 'me daria' a chave para descobrir a fórmula da coluna 'A', na quarta dimensão.
X = r/4 . 12 . pi . r ^ 3 = 3 . pi . r ^ 4
'Descobri' a fórmula da quarta dimensão fazendo a operação inversa à que foi feita nas linhas da coluna 'C'. A nova tabela fica
| A | B | C | D | |
| d | f (r) | f ' (r) | A/B | B[d+1]/B[d] |
| 1 | 2 . pi . r | 2 . pi | r / 1 | - |
| 2 | pi . r ^ 2 | 2 . pi . r | r / 2 | r |
| 3 | 4/3 . pi . r ^ 3 | 4 . pi . r ^ 2 | r / 3 | 2r |
| 4 | 3 . pi . r ^ 4 | 12 . pi . r ^ 3 | r / 4 | 3r |
Até então, eu ficava preso a uma fórmula de uma dimensão qualquer para poder descobrir a fórmula seguinte, de acordo com as progressões mostradas nas colunas 'C' e 'D'.
Eu não tinha como dizer, por exemplo, qual seria a fórmula para o cálculo do tal trans-volume da sexta dimensão, sem, antes, calcular o da quinta.
Haveria uma fórmula universal que me desse o cálculo em qualquer dimensão desejada?
Fiz vários ensaios, tentando vislumbrar alguma regra óbvia na evolução dos coeficientes da primeira coluna. Não havia. Na coluna 'B' também não. A coluna 'C' não me interessou muito, pois, embora tivesse uma evolução clara, não mostrava progresso vertical, de uma fórmula a outra. Mostrava a relação de mesma linha.
A coluna 'D', entretanto, intuitivamente, pareceu-me ter uma direção interessante: ela me mostrava que as derivadas progrediam numa escala linear. E a constante numérica me parecia ser, a cada linha, a dimensão a que ela se referia, menos 1.
Resolvi dividir o coeficiente numérico de uma derivada qualquer pela constante numérica da coluna 'D' na linha a que ela se referia: encontrei o coeficiente numérico da derivada anterior à linha em que eu estava.
Por exemplo,
12 . pi . r ^ 3
--------------- = 4 . pi . r ^ 3
3
Era 'quase' a fórmula da derivada anterior. Resolvi, também por intuição e como sempre até aquele momento, acreditar que, parcialmente, poderia fazer o expoente de 'r' ser igual à dimensão da fórmula base em questão, menos 1.
Nasceu, assim, a primeira idéia para a fórmula geral. Como todas as derivadas contemplam a dupla de variáveis 'pi' e 'r', e que 'r' tem sempre expoente igual à dimensão atual - 1, pude imaginar
f ' (r) = ... . pi . r ^ (d - 1)
d
Como seria o coeficiente numérico? Perguntei-me se a evolução da coluna das derivadas era sempre par. Parecia ser. Então, algo teria a ver com o fator 2. Tentei
f ' (r) = 2 . ... . pi . r ^ (d - 1)
d
Foi uma boa idéia. Olhando os coeficientes das derivadas nas tabelas anteriores e reescrevendo cada uma delas, vi que os coeficientes numéricos deveriam ser
| d | Coeficiente fixo | Coeficiente móvel |
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 1 |
| 3 | 2 | 2 |
| 4 | 2 | 6 |
Uma intuição definitivo me 'disse' que o coeficiente móvel '6' seria o fatorial de '3', que era a dimensão anterior à que ele se referia. Se fosse verdade, o coeficiente móvel da segunda dimensão deveria obedecer à mesma regra. E era, pois
(d - 1 )! = (2 - 1)! = 1
E, por fim, a primeira dimensão também obedecia
(d - 1)! = (1 - 1)! = 0! = 1.
Assim,
f ' (r) = 2 . (d - 1)! . pi . r ^ (d - 1)
d
Qualquer derivada fica assim determinada, bastando-se indicar em qual dimensão (d) será levada a calcular.
Mas o meu objetivo final é achar uma fórmula de uma dimensão 'd' qualquer que seguisse a regra constituinte de todas as já consagradas.
Em meu socorro veio a coluna 'C'. Bastava multiplicar-se uma derivada qualquer pelo seu valor correspondente na coluna 'C' que poder-se-ia obter a fórmula da coluna 'A'.
Então
f (r) = [f ' ( r )] . r / d
d
Substituindo a representação da derivada acima por sua expressão, temos
| [2 . (d - 1)! . pi . r ^ (d - 1)] . r | ||
| f (r) | = | ------------------------------------ |
| d | d |
Simplificando e terminando a história, temos a fórmula geral, conforme mostrada no início deste artigo:
| 2 . ( d - 1 )! . pi . r ^ d | |
| f ( r ) = | ---------------------------- |
| d | d |
2 comentários:
Interessante, mas não tenho capacidade para dizer mais.
Hum.. Só lhe dou os parabéns pela
forma como você coloca suas
idéias, porque confesso: não
sou boa com essa história de
fórmulas.. :-(
Preciso de umas aulas..
Eu
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